这是 Carl E. Mungan 发表在 2017 年 01 月《The Physics Teacher》的一篇论文。
文章给出问题的情景：学生在探究城堡时发现城堡上有间谍孔，水平距离为 $x$，竖直距离为 $y$，学生想把鹅卵石扔进孔洞中，问抛掷的速度 $v$ 和抛掷角度 $\theta$ 的关系。
写出水平方向的位移 $x= vcos\theta t$，竖直方向位移 $y=(vsin\theta)t-\frac{1}{2}gt^2$，联立两式，消元 $t$，得到 $v$ 与 $\theta$ 的表达式： $$ v=sec \theta \sqrt{\frac{gx/2}{tan\theta -tan \phi}} -(3) $$ 其中 $tan \phi = y/x$。
我们一般联立上面两式，消元 $t$ 后，得到的是 $y$ 与 $x$ 的表达式，以证明运动轨迹为抛物线： $$ y = xtan\theta -\frac{gx^2}{2u^2 cos^2\theta} $$
我们对 $v-\theta$ 表达式(式3) 对 $\theta$ 进行求导，得到在某个抛射角度下抛射速度的最值。能得到以下式子 $$ tan^2 \theta -2tan\phi tan\theta -1=0 $$ 上式的正根为 $tan\theta= tan\phi + sec \phi$，该正根可以求得 $\theta= 45 ^\circ + \phi/2$，此时得到最小的抛射速度为 $v = \sqrt{g(y+r)}$，其中 $r = \sqrt{x^2+y^2}$。
对这个抛射角度和速度进行讨论：（a） 假设 $y=0$，则可以得到 $\theta = 45 ^\circ$ 和 $v = \sqrt{2gx}$，和斜抛的水平最大射程是一致的；（b）$x=0$，则可以得到 $\theta = 90 ^\circ$ 和 $v = \sqrt{2gy}$，对应的是竖直上抛运动；（c）举例 $x=y=10m$，则可以得到 $\theta = 67.5 ^\circ$ 和 $v \approx 15.4m/s$。
固定 $x$ 和 $y$ 得到 最小速度 $v$ 和 $\theta$ 的表达式，就等价于固定 $y$ ，$v$ 得到 $\theta$ 和最大 $x$ 的关系，根据得到的最小抛射速度 $v = \sqrt{g(y+r)}$，整理得到： $$ x= \frac{v^2}{g}\sqrt{1-\frac{2gy}{v^2}} $$
上式也是篮球运动员在给定投掷速率下最大的水平距离表达式。
文章最后使用了 PASCO 装置验证该理论结果。
在 2024 年 11 月《The Physics Teacher》(62卷，8期) 中对文章中出现的公式做出了评论。
原文链接：https://doi.org/10.1119/1.5011825