2017

这是 Carl E. Mungan 发表在 2017 年 01 月《The Physics Teacher》的一篇论文。 文章给出问题的情景：学生在探究城堡时发现城堡上有间谍孔，水平距离为 $x$，竖直距离为 $y$，学生想把鹅卵石扔进孔洞中，问抛掷的速度 $v$ 和抛掷角度 $\theta$ 的关系。 写出水平方向的位移 $x= vcos\theta t$，竖直方向位移 $y=(vsin\theta)t-\frac{1}{2}gt^2$，联立两式，消元 $t$，得到 $v$ 与 $\theta$ 的表达式： $$ v=sec \theta \sqrt{\frac{gx/2}{tan\theta -tan \phi}} -(3) $$ 其中 $tan \phi = y/x$。 我们一般联立上面两式，消元 $t$ 后，得到的是 $y$ 与 $x$ 的表达式，以证明运动轨迹为抛物线： $$ y = xtan\theta -\frac{gx^2}{2u^2 cos^2\theta} $$ 我们对 $v-\theta$ 表达式(式3) 对 $\theta$ 进行求导，得到在某个抛射角度下抛射速度的最值。能得到以下式子 $$ tan^2 \theta -2tan\phi tan\theta -1=0 $$ 上式的正根为 $tan\theta= tan\phi + sec \phi$，该正根可以求得 $\theta= 45 ^\circ + \phi/2$，此时得到最小的抛射速度为 $v = \sqrt{g(y+r)}$，其中 $r = \sqrt{x^2+y^2}$。 ...