自行车链条的效率

这是 John Waite 发表在 2024 年 09 月《The Physics Teacher》的一篇论文。

自行车在日常生活中比较常见，这篇文章展示了自行车传动系统的效率，链条的传动效率超过 90%。

传动系统包含一个脚踏板的前齿轮，驱动自行车后轮的后齿轮，两个齿轮用链条连接在一起。

脚踏板的长度为 $d$，前齿轮盘的半径为 $r_f$，后齿轮盘的半径为 $r_r$，后轮的半径为 $R$。在脚踏板上施加一个 $F_{in}$ 的力，前轮产生的力矩为

$$ \tau_f = F_{in}d = Tr_f $$

其中 $T$ 是连接链条的力，传递给后轮的力矩为

$$ \tau_r = F_{road}R = Tr_r $$

则可以得到轮子施加在地面的力为

$$ F_{road} = \frac{dr_r}{Rr_f}F_{in} $$

而有齿轮比 $g = r_f/r_r$，当齿轮比减小，施加在地面的力会增加，这似乎和常识相反。考虑到牛顿第二定律，一般而言，低速档通常用于获得动力，高速档通常用于保持动力。

如图 1 所示，在脚踏板上挂载重物，脚踏板旋转时带动链条，链条带动后轮旋转，用测力计拉住轮子，使轮子不动，则可以得到 $F_{road}$。

拉力计示数如图3 所示

下面来计算下链条的效率

$$ e = \frac{P_{out}}{P_{in}} = \frac{RF_{road}\omega_r}{RF_{in}\omega_f} $$

考虑链条无挂滚动，满足 $\omega_r = g \omega_f$，则得到了自行车的传动效率

$$ e = \frac{F_{road}Rg}{F_{in}d} $$

所以得到 $F_{road} = \frac{dF_{in}}{R}g^{-1}$。绘制 $F_{road} - g$ 的图像，如图4 所示

令 $A = \frac{dF_{in}}{R}$，效率

$$ e = \frac{AR}{F_{in}d}g^{1-\alpha} $$

测量数据如下表

看样子车轮传动的效率超过了 90%。