离散电荷对导体内部电场的影响

这是 Nam H. Nguyen, Quy C. Tran, Thach A. Nguyen, Trung V. Phan 发表在 2024 年 01 月《The Physics Teacher》的一篇论文。

在物理书上一般会写明：带电导体内部的电场为零，但这是对电荷是连续分布时适用的——如果在表面只带了一个电荷，那么导体内部的电场无论都不会为零。这篇文章研究了离散电荷对导体内部电场的影响，随着离散电荷数量增加，该模型就趋于导体表面电荷连续分布的情况。

方便起见，电荷分布在二维平面，电荷总量是偶数，并对称分布，如图1 所示。

每个电荷 $q$ 所在位置对应的角度为 $\theta_n = \pi (n – 1/2)/N$，总电量为 $Q$，则每个电荷 $q = Q/(2N)$，设置为自然单位制，则在水平方向 $x$ 处的电场强度为

$$ E(x) = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} \frac{x-cos\theta_n}{(x-cos\theta_n)^2+(sin \theta)^2} $$

图2 绘制了不同的离散电荷数量 $N$下，电场强度 $E$ 和 $x$ 的关系：当 $N\gt0$，在 $x \gg 1$ 处，电场强度随着 $x$ 的增加而减小，满足 $1/x$ 的关系。当 $N \gg 1$ 时，电场在导体内部会很快消失，只存在边界处。

在边界处的特征深度 $\lambda$ 为

$$ \lambda ~ \frac{E(x)}{\partial_x E(x)}|_{x=1} $$

在 $x= 1+z$ 处将电场强度展开

$$ E(1+z) \pm \frac{1}{2}-\left ( \frac{1}{2} -\frac{1}{2N} \sum_{n=1}^N \frac{1}{1-cos \theta_n}\right )z + O(z^2) $$

其中 $O(z^2)$ 是二阶无穷小，可以得到特征深度

$$ \lambda ~ \frac{E(1)}{\partial_z E(1+z)}|_{z=0} = \frac{1}{N-1} $$

即随着电荷数量 $N$ 的增加，在边界处的电场特征深度会反比例减小。

文章做了三维情况下的磁场，可以得到电荷的间距近似为 $a \pm \sqrt{16\pi / \sqrt{3}N}$，特征深度与 $a/\sqrt{3}$有相同的量级。

这里需要比较繁杂的数学推导，我没有做过多解读，有兴趣的朋友可私信。

总结：文章证明了随着带电粒子数量 $N$ 的增加，导体内部的电场会受到抑制。在导体表面下有一个浅区域，其中的电场仍可被视为非零，其深度随 N 的增加而单调减小（与带电粒子间距的数量级相同）。

空心带电导体内部电场为零，这是高斯定理可以证明的，这个文章用离散的方法得到了类似的结论，非常硬核。在看这篇文章时，我在想的问题是，当年学电磁学的时候，怎么就没想到：如果导体表面只带一个电子，内部电场还为零吗？