[扩展] 四个电阻有多少种不同的连接方式？

在之前的微信推文(点击跳转)中，我们分享了美国物理教师 2023 年 12 月杂志上刊登的一个问题：

有四个电阻，阻值分别为 $1 Ω$ ， $2 Ω$ ， $3 Ω$ ， $4 Ω$ ，如何连接这些电阻，使得总电阻为 $1 Ω$ ， $2 Ω$ ， $3 Ω$ ， $4 Ω$ ？

文章给出了三个不同电阻共有 4 种排列方式，共计 8 种不同的总阻值。

那么，文章给出的答案是否是唯一的？以及，4个不同电阻的阻值有多少种排列方式，以及有多少种不同的总阻值，让我们来一探究竟。

可能会有不详尽的地方，还请批评指正。

如果四个电阻均相等...

我们可以从最简单的情况出发，假定四个电阻均为 $1 Ω$ ，看一下多少种可能的阻值。

可以试着组合下，只要学过一点电路的串并联知识，总能命中集中排列吧

让我们来揭示答案吧，总阻值共有 9 个！

阻值分别为： $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{2}{5}$ 、 $\frac{3}{5}$ 、 $\frac{3}{4}$ 、 $1$ 、 $\frac{4}{3}$ 、 $\frac{5}{3}$ 、 $\frac{5}{2}$ 、 $4$ ，具体的排列如下：

我也在一篇文章找到了说法：

Sameen Ahmed Khan. The bounds of the set of equivalent resistances of n equal resistors combined in series and in parallel. https://doi.org/10.48550/arXiv.1004.3346, 2010

原文：We continue the exercise with 4 resistors and find 9 equivalent resistances, but ten different configurations. The following two configurations have the same equivalent resistance. 译文：我们继续研究 4 个电阻的情况，共有 9 个等效电阻，但有10 种构型，下图的两种构型有相同的等效电阻。

从这张表格，确实发现了存在 10 种构型，第 5 种构型和第 6 种构型的等效电阻均为 $1 Ω$ 。

四个电阻为 $1 Ω$ ， $2 Ω$ ， $3 Ω$ ， $4 Ω$ ...

那如果四个电阻分别为 $1 Ω$ ， $2 Ω$ ， $3 Ω$ ， $4 Ω$ ，情况又是如何呢？

我用 Mathematica 软件验证了情况，共有 48 种等效电阻值，如下所示 (真的很多！眼睛都要花了)

$10$ 、 $\frac{31}{5}$ 、 $\frac{29}{5}$ 、 $\frac{27}{4}$ 、 $\frac{23}{3}$ 、 $\frac{25}{13}$ 、 $\frac{50}{19}$ 、 $\frac{25}{7}$ 、 $\frac{50}{11}$ 、 $\frac{12}{25}$ 、 $\frac{50}{21}$ 、 $\frac{25}{12}$ 、 $2$ 、 $\frac{5}{2}$ 、 $\frac{23}{9}$ 、 $3$ 、 $\frac{29}{9}$ 、 $\frac{23}{8}$ 、 $\frac{31}{8}$ 、 $4$ 、 $\frac{27}{7}$ 、 $\frac{31}{7}$ 、 $\frac{33}{7}$ 、 $\frac{29}{6}$ 、 $\frac{16}{3}$ 、 $\frac{11}{2}$ 、 $\frac{9}{10}$ 、 $\frac{8}{5}$ 、 $\frac{21}{10}$ 、 $\frac{12}{5}$ 、 $\frac{26}{33}$ 、 $\frac{13}{16}$ 、 $\frac{26}{31}$ 、 $\frac{38}{33}$ 、 $\frac{38}{29}$ 、 $\frac{38}{27}$ 、 $\frac{42}{29}$ 、 $\frac{42}{23}$ 、 $\frac{21}{16}$ 、 $\frac{44}{31}$ 、 $\frac{44}{27}$ 、 $\frac{44}{23}$ 、 $\frac{12}{11}$ 、 $1$ 、 $\frac{30}{31}$ 、 $\frac{20}{29}$ 、 $\frac{2}{3}$ 、 $\frac{14}{23}$