平衡

这是 Rod Cross 发表在 2025 年 03 月《Physics Education》的一篇论文。研究的是木板斜面静止放在球上，如图 1 所示。 如果木板保持静止，则可以写出受力平衡方程，竖直方向： $$ N_2+N_3cos\theta + F_3 sin\theta = M_2 g $$ 水平方向： $$ F_2+ F_3cos\theta =N_3 sin \theta $$ 再写出力矩平衡方程，则有 $$ N_2 = M_2 g \left( 1-\frac{L cos\theta}{2x}\right) $$ 以及木板与地面的摩擦力 $F_2$ 为 $$ F_2 = \frac{M_2gLcos\theta sin\theta}{2x(1+cos\theta)} $$ 当 $x$ 减小，$\theta$ 增加，$N_2$ 减小，但在 $N_2$ 减小到零之前，木板会滑动。 把木板放在电子秤上面测量支持力，测量在电子秤上没有垫纸、垫上砂纸时的最大倾斜角度，可以得到摩擦系数。改变不同的角度、使用不同半径的小球，得到支持力 $N_2$ 和 倾斜角度 $\theta$ 的关系如图 3 所示。 ...

这是 Rod Cross 发表在 2025 年 03 月《Physics Education》的一篇论文。梯子倾斜靠在竖直墙上问题是比较经典的力学静态平衡问题。如图 1 所示，质量为 $M$，长度为 $L$ 的均质杆一端连接绳子，一段放在粗糙的水平面上，梯子保持平衡。 静态平衡方程为 $$ N + T cos \theta_1 = Mg $$ $$ F = T sin \theta_1 $$ 力矩平衡方程： $$ N(\frac{L}{2})cos\theta_2 = F(\frac{L}{2})sin\theta_2 + TD $$ 可以得到摩擦力 $F = (Mg-N)tan\theta_1$，支持力为 $$ N=\frac{Mg(1+2tan \theta_1 \theta_2)}{2(1+tan \theta_1 \theta_2)} $$ 当 $\theta_1= 0$，则 $F=0$，$T=N=Mg/2$，摩擦力无需存在。当绳子和杆子平行时，满足 $tan \theta_1 tan \theta_2 = -1$，则支持力 $N=\infty$，但实际杆子在这之前就会滑动。 考虑到摩擦系数满足 $\mu=F/N$，绘制摩擦系数 $\mu$ 与 $\theta_2$ 的图像，如图2 所示。 ...