力学

这是 Ricardo Coelho 发表在 2022 年 12 月《The Physics Teacher》的一篇论文。 阿特伍德 (Atwood) 在 1780 年发发明了阿特伍德机以用来观察下落物体的运动。该装置可以通过研究下落物体来计算当地的重力加速度，且具有一定的教学意义。而 波根多夫 (Poggendorff) 研究了 阿特伍德机，测量了该装置在静止时和运动时的重力，验证了该装置在运动时的等效重力会减小。 波根多夫实验包含了一个杠杆，一侧是阿特伍德机，另一侧是配重，如图1 所示。 当阿特伍德机开始运动时，杠杆是否会平衡，会往哪一侧倾斜？ Cintra do Prado 用图2 的装置测量了静止和运动状态下阿特伍德机的重量。 也有作者使用了力传感器验证了该实验。 这篇文章将两个 PASCO 的力传感器当作阿特伍德机的配重进行了研究，如图4所示。 实验数据如图 5 所示。 在图 5 中，2.8秒前，两个物体（红色和蓝色）处于静止，质量分别为 $2.48 \pm 0.01 N$ 和 $4.41 \pm 0.01 N$。在 2.8-3.5秒内物体开始运动，绳子拉力近似相等为 $3.17 \pm 0.01$ 和 $3.19 \pm 0.01N$，阿特伍德机的等效重力近似等于两根绳子的拉力。 ...

这是 Carl E. Mungan 发表在 2017 年 01 月《The Physics Teacher》的一篇论文。 文章给出问题的情景：学生在探究城堡时发现城堡上有间谍孔，水平距离为 $x$，竖直距离为 $y$，学生想把鹅卵石扔进孔洞中，问抛掷的速度 $v$ 和抛掷角度 $\theta$ 的关系。 写出水平方向的位移 $x= vcos\theta t$，竖直方向位移 $y=(vsin\theta)t-\frac{1}{2}gt^2$，联立两式，消元 $t$，得到 $v$ 与 $\theta$ 的表达式： $$ v=sec \theta \sqrt{\frac{gx/2}{tan\theta -tan \phi}} -(3) $$ 其中 $tan \phi = y/x$。 我们一般联立上面两式，消元 $t$ 后，得到的是 $y$ 与 $x$ 的表达式，以证明运动轨迹为抛物线： $$ y = xtan\theta -\frac{gx^2}{2u^2 cos^2\theta} $$ 我们对 $v-\theta$ 表达式(式3) 对 $\theta$ 进行求导，得到在某个抛射角度下抛射速度的最值。能得到以下式子 $$ tan^2 \theta -2tan\phi tan\theta -1=0 $$ 上式的正根为 $tan\theta= tan\phi + sec \phi$，该正根可以求得 $\theta= 45 ^\circ + \phi/2$，此时得到最小的抛射速度为 $v = \sqrt{g(y+r)}$，其中 $r = \sqrt{x^2+y^2}$。 ...