力学

这是 Rod Cross 发表在 2025 年 - 01 月 《The Physics Teacher》 期刊上的一篇文章。 如果网球拍的弦张力约为 30 千克（实际约为 300 牛），而实际上，大约 5 分钟后，张力就会下降到 25 公斤左右，这是因为网球绳是粘弹性的，即绳子部分兼具粘性和弹性。网球绳张力的下降称为应力松弛，所有塑料材料都会出现这种现象，金属材料在受到压缩或拉伸时也会在较小程度上出现这种现象。通常研究这种效应的一起售价大约为20,000 美元。 图 1 显示了一种测量应力松弛的方法：将一把轻木尺或金属尺的上端靠在墙上或砖块上，下端放在秤上。秤的读数通常会小于尺子的实际质量，但有时也可能会大于实际质量，这取决于尺子上端的垂直力 F 的方向。由于应力松弛，秤的读数可能会随着时间的推移而缓慢减小或增大，因为顶端的垂直力会随着时间的推移而缓慢变化。 某些物体的实验结果如图 2 所示，使用的是一把金属尺和上端三种不同的材料。 上述方法不适合测量网球绳或棉线的应力松弛，但如果将网球绳或棉线的上端绑在支架上，并在下端连接一个质量块，则可以观察到应力松弛。如果适当调整物体，使物体和秤刚好接触，随着绳子张力慢慢减小，秤的读数会增加。 原文链接: https://doi.org/10.1119/5.0246473

这是 Lian Hu 发表在 2025 年 - 03 月 《 Physics Education 》 期刊上的一篇文章。该研究通过改造废弃机械硬盘（HDD）中的主轴电机和音圈电机（VCM），设计了三种可调振动模式，用于演示共振、驻波等实验，展示了如何利用低成本、便携的设备在有限空间内实现精确频率控制的振动现象。 废弃的机械硬盘由无刷电机和音圈电机 (VCM) 构成，音圈电机运动形式可以为直线或者圆弧。根据无刷电机和音圈点击的运动特性，有三种可控振动的方式。图 1(a) 显示了将 VCM 用作振荡器的第一种方法，因为在振荡电压信号的驱动下，它将以相同的频率摆动。第二种方法是将主轴电机制成曲柄，并与外部导轨和滑块结合形成振动，如图 1 c 和1d 所示。图 1 e 介绍了第三种方法，将主轴电机和音圈电机结合在一起。借助 LED，可以清楚地观察到连杆上不同位置的运动轨迹。图 1 f 显示了运动轨迹从旋转到沿连杆振动的变化。 论文演示共振实验。如图2 所示，一个音圈电机部件被固定在支架上。一根铁质细杆的一端通过 Y 形接头与 VCM 臂相连。杆的另一端由固定在支架上。三枚铜螺母悬挂在该杆上，上面系有三根弦，形成三个驱动摆。这些摆锤的弦长分别为 8 厘米、15.5 厘米和 24.5 厘米。根据摆的固有频率方程 $$ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}} $$ 这些摆的固有频率的计算结果分别为 1.76、1.26 和 1.00 赫兹。该装置可以证明驱动摆的共振现象。摆臂驱动细杆以指定频率摆动。从高到低调节信号频率，我们可以看到当信号频率与单摆的固有频率一致时，共振会使单摆产生较大的摆幅，如图 2a-c 所示。去掉连杆，预留的音圈电机可以驱动一根弹性绳来演示驻波（图 2d）。在摆臂的一端系上一根弹性绳，摆臂的另一端则系上一根弹性绳。图 2e-g显示了信号频率为 27、54 和 81 Hz 时具有 1-3 个波节的驻波。通过观察驻波的频率和形状，学生可以更好地理解匀速振动频率与波长之间的反比关系。 图3 演示了使用第二种产生振动的方式——将主轴电机制成曲柄，并与外部导轨和滑块结合形成振动，而产生的驻波，如图 3 a 所示。图 3 e 使用 用棍子触碰驻波上的波节和波腹位置。 ...

这是 James Lincoln 发表在 2025 年 03 月 《Physics Education》 期刊上的一篇文章。这篇文章讲解了如何使用 U 型管测量液体密度。 U 型管可以通过已知液体和未知液体的平衡来测定未知液体的密度，如图2 所示。 在 U 型管两端倒入两种不同密度且不相溶的液体，在液体交界面处受力平衡，有 $\rho_1 g h_1 = \rho_2 g h_2$。两种液体不能相溶，可以添加染色剂进行着色。在图 3 中显示的是两种液体达到平衡，左侧绿色的是盐水，右侧粉色是丙酮溶液。根据高度关系可以得到密度为 $1.2$ 和 $0.78g/ml$。 在做实验时，先用注射器添加密度大的液体，用牙线或者针去除在灌入过程中的气泡。 该装置可以实时地验证压强随着深度的变化关系。 原文链接: https://doi.org/10.1119/5.0261026 思考：是不是可以把这个装置加上橡皮膜，从而测量橡皮膜在水中的压强变化。

这是 Rod Cross 发表在 2025 年 03 月 《Physics Education》 期刊上的一篇文章。 双摆是把一个摆连在另一个摆的下方，大角度下运动呈现混沌现象，而小角度情况下还是可以被很好研究的。例如，摆长为 $L$，挂载相同的质量，则角频率为 $0.765\sqrt{g/L}$以及 $1.848\sqrt{g/L}$，两球的运动取决于初始条件不同。 如果下部的质量远小于上部的质量，可能会出现一种异常情况，此时两种模式的振荡频率大致相同，从而观察到拍频现象，即一个摆的能量逐渐转移到另一个摆上。 文章使用 Tracker 分析运动。 如图1 所示，假定两球的质量相等，摆线长度相等，录制视频。 分析两球水平位移和时间的关系，如图2 所示。 用傅立叶变换求得两种震动模式的频率不同，分别为 $1.06 Hz$，$2.84Hz$，如图3 所示，可以给出对于上、下摆球的拟合，分别为 $x_t = sin(2\pi \times 1.06t) + 0.5 sin(2\pi \times 2.84t) $，$x_b = sin(2\pi \times 1.06t) + 0.1 sin(2\pi \times 2.84t)$。 测量得到两球的频率比为 $2.84/1.06 = 2.68$，理论值为 $1.848/0.765 = 2.42$，实验与理论符合的还是不错的。 用不同质量的摆球，相同摆线长完成实验。实验装置图、实验结果、傅立叶变换如图 4-5-6 所示。 ...

这是 Rod Cross 发表在 2025 年 03 月 《Physics Education》 期刊上的一篇文章。这篇论文探讨了静摩擦力在滚动运动中做功的机制，挑战了“静摩擦力不做功”的传统观点，并通过理论推导和实例分析阐明其物理本质。 对做功的定义是力乘以在力的方向移动的距离。一般而言，静摩擦力做的功默认为0。对于无滑滚动的物体，静摩擦力既产生扭矩驱动旋转，又影响质心的平动。作者指出，静摩擦力的总功为零，但其会做正功和负功，改变小球的旋转动能与平移动能，从而总功为零。 1. $F$ 作用在轮子边缘，当轮子转过一个微元 $d\theta$，则 $F$ 做功为： $$ dW=Fds=FRd\theta = \tau d\theta $$ 积分可得轮子的旋转动能为 $\frac{1}{2}I_{cm}\omega^2$，如图 1 a 所示。 2. 现在考虑如图 1b 所示的情况，当一个球在斜面无滑滚动，摩擦力矩做功使得物体的旋转动能增加，但底部接触点的摩擦力会阻止物体下滑，围绕底部接触点，摩擦力做负功 $W = -F ds$。 旋转动能的增加源于静摩擦力的正功，而平移动能的减少由其负功抵消，满足能量守恒。 原文链接: https://doi.org/10.1088/1361-6552/adb11f

这是 Rod Cross 发表在 2025 年 03 月《Physics Education》的一篇论文。研究的是木板斜面静止放在球上，如图 1 所示。 如果木板保持静止，则可以写出受力平衡方程，竖直方向： $$ N_2+N_3cos\theta + F_3 sin\theta = M_2 g $$ 水平方向： $$ F_2+ F_3cos\theta =N_3 sin \theta $$ 再写出力矩平衡方程，则有 $$ N_2 = M_2 g \left( 1-\frac{L cos\theta}{2x}\right) $$ 以及木板与地面的摩擦力 $F_2$ 为 $$ F_2 = \frac{M_2gLcos\theta sin\theta}{2x(1+cos\theta)} $$ 当 $x$ 减小，$\theta$ 增加，$N_2$ 减小，但在 $N_2$ 减小到零之前，木板会滑动。 把木板放在电子秤上面测量支持力，测量在电子秤上没有垫纸、垫上砂纸时的最大倾斜角度，可以得到摩擦系数。改变不同的角度、使用不同半径的小球，得到支持力 $N_2$ 和 倾斜角度 $\theta$ 的关系如图 3 所示。 ...

这是 Rod Cross 发表在 2025 年 03 月《Physics Education》的一篇论文。梯子倾斜靠在竖直墙上问题是比较经典的力学静态平衡问题。如图 1 所示，质量为 $M$，长度为 $L$ 的均质杆一端连接绳子，一段放在粗糙的水平面上，梯子保持平衡。 静态平衡方程为 $$ N + T cos \theta_1 = Mg $$ $$ F = T sin \theta_1 $$ 力矩平衡方程： $$ N(\frac{L}{2})cos\theta_2 = F(\frac{L}{2})sin\theta_2 + TD $$ 可以得到摩擦力 $F = (Mg-N)tan\theta_1$，支持力为 $$ N=\frac{Mg(1+2tan \theta_1 \theta_2)}{2(1+tan \theta_1 \theta_2)} $$ 当 $\theta_1= 0$，则 $F=0$，$T=N=Mg/2$，摩擦力无需存在。当绳子和杆子平行时，满足 $tan \theta_1 tan \theta_2 = -1$，则支持力 $N=\infty$，但实际杆子在这之前就会滑动。 考虑到摩擦系数满足 $\mu=F/N$，绘制摩擦系数 $\mu$ 与 $\theta_2$ 的图像，如图2 所示。 ...

这是 John Waite 发表在 2024 年 09 月《The Physics Teacher》的一篇论文。 自行车在日常生活中比较常见，这篇文章展示了自行车传动系统的效率，链条的传动效率超过 90%。 传动系统包含一个脚踏板的前齿轮，驱动自行车后轮的后齿轮，两个齿轮用链条连接在一起。 脚踏板的长度为 $d$，前齿轮盘的半径为 $r_f$，后齿轮盘的半径为 $r_r$，后轮的半径为 $R$。在脚踏板上施加一个 $F_{in}$ 的力，前轮产生的力矩为 $$ \tau_f = F_{in}d = Tr_f $$ 其中 $T$ 是连接链条的力，传递给后轮的力矩为 $$ \tau_r = F_{road}R = Tr_r $$ 则可以得到轮子施加在地面的力为 $$ F_{road} = \frac{dr_r}{Rr_f}F_{in} $$ 而有齿轮比 $g = r_f/r_r$，当齿轮比减小，施加在地面的力会增加，这似乎和常识相反。考虑到牛顿第二定律，一般而言，低速档通常用于获得动力，高速档通常用于保持动力。 如图 1 所示，在脚踏板上挂载重物，脚踏板旋转时带动链条，链条带动后轮旋转，用测力计拉住轮子，使轮子不动，则可以得到 $F_{road}$。 拉力计示数如图3 所示 下面来计算下链条的效率 $$ e = \frac{P_{out}}{P_{in}} = \frac{RF_{road}\omega_r}{RF_{in}\omega_f} $$ ...

这是 Sanjoy Kumar Pal, Soumen Sarkar, Pradipta Panchadhyayee 发表在 2024 年《The Physics Educator》的一篇论文。 在高端手机中会放置光学雷达(LiDAR)，可以比较精确地测量物体的距离、物体的形状和特征。 劲度系数 ($k$) 的测量在中学阶段很常见。在凝聚态物理学和量子力学中，“弹簧 ”一词经常被用来比喻粒子之间的某些类型的恢复力或相互作用。例如量子谐振子、晶格振动（声子）和磁振子（自旋系统）。 对于简谐运动的弹簧-质量系统，运动周期为 $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{m+m_s}{k}} $$ 其中 $m$ 是悬挂物的质量，$m_s$ 是弹簧的有效质量。考虑悬挂质量远大于弹簧真实质量$m_{0s}$，即 $m/m_{0s} \gg 1$，则弹簧的有效质量 $m_s = m_{0s}/3$。 这样就能得到劲度系数 $k$ 的表达式 $$ k = \frac{4\pi ^2}{T^2}(m+m_s) $$ 弹簧串联 $1/k = 1/k_1 + 1/k_2$，弹簧并联 $k = k_1 + k_2$，如果是 $Y$ 型连接，且夹角为 $45 ^\circ$，则劲度系数为 $$ k = \frac{k_3(k_1+k_2)cos^2(45 ^\circ)}{(k_1+k_2)cos^2(45 ^\circ)+k_3} = \frac{k_3(k_1+k_2)}{(k_1+k_2)+2k_3} $$ ...

这是 Pei Xiong-Skiba, Spencer Buckner, William R. Longhurst 发表在 2024 年 09 月《The Physics Teacher》的一篇论文。 抛体运动几乎是所有物理入门教科书都会涵盖的课题。通常使用的矢量分解法最初是由伽利略发明的——将运动分解为水平方向的匀速运动和组织方向的匀加速运动。 $$ \Delta x= v_{0x}t $$ $$ \Delta y = v_{0y} - \frac{1}{2}gt^2 $$ 而另一种方式是将抛体运动认为沿着初始发射方向的匀速运动和自由落体运动——这最开始是由牛顿发明的。 沿着初始发射方向的运动 $$ d = v_0t $$ $$ h=\frac{1}{2}gt^2 $$ 如图 1 所示。 牛顿的这个方法很少被讨论到，有一个很典型的例子是：用枪直接瞄准一个物体，在物体开始下落的瞬间扣动扳机，则子弹能命中物体。 视频链接：https://www.youtube.com/watch?v=cxvsHNRXLjw&t 这里学生完成了实验，在桌子边缘水平发射一颗弹珠，弹珠落在地面上。通过测量弹珠的初始高度（$h_0$）和覆盖范围（$R$）来计算初始发射速度。在这种情况下，沿垂直方向 $h$ 的下落距离为 $h_0$，沿原始投射方向的移动距离为 $R$。我们可以根据公式求出弹珠在空中时间 $t$，从而求出初始发射速度 $v_0$。 改变弹珠的发射角和弹珠高度，描点绘制图像，同时根据牛顿法计算沿初始抛射方向的距离，以及竖直方向的距离，如下表所示 学生根据数据在网格纸上画图，如下图2 所示。 但实际测量时可能会遇到问题，网格纸并不是标准宽度等，但这也激发学生测量所需的精度和准度。 本文介绍的图形方法为运动实验提供了一种实用的简化方法，也是矢量分解法的一种替代。 原文链接: https://doi.org/10.1119/5.0147581 ...