用光学雷达研究弹簧劲度系数

这是 Sanjoy Kumar Pal, Soumen Sarkar, Pradipta Panchadhyayee 发表在 2024 年《The Physics Educator》的一篇论文。

在高端手机中会放置光学雷达(LiDAR)，可以比较精确地测量物体的距离、物体的形状和特征。

劲度系数 ($k$) 的测量在中学阶段很常见。在凝聚态物理学和量子力学中，“弹簧 ”一词经常被用来比喻粒子之间的某些类型的恢复力或相互作用。例如量子谐振子、晶格振动（声子）和磁振子（自旋系统）。

对于简谐运动的弹簧-质量系统，运动周期为

$$ T = 2\pi \sqrt{\frac{m+m_s}{k}} $$

其中 $m$ 是悬挂物的质量，$m_s$ 是弹簧的有效质量。考虑悬挂质量远大于弹簧真实质量$m_{0s}$，即 $m/m_{0s} \gg 1$，则弹簧的有效质量 $m_s = m_{0s}/3$。

这样就能得到劲度系数 $k$ 的表达式 $$ k = \frac{4\pi ^2}{T^2}(m+m_s) $$

弹簧串联 $1/k = 1/k_1 + 1/k_2$，弹簧并联 $k = k_1 + k_2$，如果是 $Y$ 型连接，且夹角为 $45 ^\circ$，则劲度系数为

$$ k = \frac{k_3(k_1+k_2)cos^2(45 ^\circ)}{(k_1+k_2)cos^2(45 ^\circ)+k_3} = \frac{k_3(k_1+k_2)}{(k_1+k_2)+2k_3} $$

实验装置如图 3 所示

选取不同的质量，测试多个周期的时间，从而绘制 $T^2-m$ 的图像，如表1 所示。

绘制了 $A$、$B$、$C$ 三个弹簧的 $T^2-m$ 图像并得到劲度系数

再将 $A$、 $B$ 弹簧进行串联、并联，以及 $Y$ 型连接，得到 $T^2-m$ 图像。

数据如下表所示

最大误差大概在 0.8% 以内。