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这是 Rod Cross 发表在 2025 年 03 月《Physics Education》的一篇论文。梯子倾斜靠在竖直墙上问题是比较经典的力学静态平衡问题。如图 1 所示，质量为 $M$，长度为 $L$ 的均质杆一端连接绳子，一段放在粗糙的水平面上，梯子保持平衡。 静态平衡方程为 $$ N + T cos \theta_1 = Mg $$ $$ F = T sin \theta_1 $$ 力矩平衡方程： $$ N(\frac{L}{2})cos\theta_2 = F(\frac{L}{2})sin\theta_2 + TD $$ 可以得到摩擦力 $F = (Mg-N)tan\theta_1$，支持力为 $$ N=\frac{Mg(1+2tan \theta_1 \theta_2)}{2(1+tan \theta_1 \theta_2)} $$ 当 $\theta_1= 0$，则 $F=0$，$T=N=Mg/2$，摩擦力无需存在。当绳子和杆子平行时，满足 $tan \theta_1 tan \theta_2 = -1$，则支持力 $N=\infty$，但实际杆子在这之前就会滑动。 考虑到摩擦系数满足 $\mu=F/N$，绘制摩擦系数 $\mu$ 与 $\theta_2$ 的图像，如图2 所示。 ...

这是 Yuze He, Wanqi Yang, Yonghe Zheng, Yuqing Chen, Wenke Liu, Jingying Wang 发表在 2024 年 12 月《The Physics Teacher》的一篇论文。 学生在理解抽象的物理概念和原理时经常遇到困难。物理图像在促进学生理解方面发挥着重要的作用。智能手机上的传感器可以测量光、磁场和声音，将抽象的物理概念转化为图形。但由于这些图形包含隐含信息，需要学生具备很强的图形理解能力。大语言模型 (LLM) 作为一种有前途的工具，可以将其应用在物理课堂上，以帮助学生理解图像。 这篇论文阐述了在物理课堂上，(1) 使用智能手机进行实验并收集声音图形；(2) 在 LLMs 的指导下解释收集到的声音图形。通过与 LLM 互动，学生可以获得即时解释，从而加深对物理概念的理解。 图1表示声音信号的波形，图 2 是用手机收集音叉产生的信号。 当学生得到声音图形后，在智能手机-相册直接上传声音图形至LLM中，这里使用的是 讯飞星火 大预言模型——可以同时分析多个图表，如图3-4 所示。 当学生以最简单的提示方式要求讯飞星火 “请分析这张图片 ”时，讯飞星火 会生成对有关图表的回复，回复如图 4(b) 所示。在回答有关图表的问题时，LLM 表现得非常熟练，能够描述了坐标轴名称、坐标值范围和包含的曲线。不过，与其他 LLM 一样，回答也会包含一些错误（X 轴和 Y 轴混淆了），但这并不影响对图形的整体解释。 文章认为有两种方法可以有效减少 LLM 产生错误回答和冗余：一种是教师需要在课前使用大语言模型（LLM）进行练习，利用模型解读图像或文本等素材，不断改进提示词，直到获得最佳结果。第二种是教师在课前训练一个“代理模型”（Agent），该模型基于特定指令进行训练，以便更精准地完成任务或提供解答。 原文链接: https://doi.org/10.1119/5.0229741

这是 James Lincoln 发表在 2024 年 01月《The Physics Teacher》的一篇论文。 运动电荷或者一截电流产生的磁场公式会在物理中讲到，但很少有实验能证明这一点。这篇文章详细介绍了如何进行该实验，有效地证明磁场以 $1/r^2$ 减小——这就是毕奥-萨伐尔定律。在智能手机中内置磁力计，可以安装 Phyphox 来进行试验。 有论文已经证明，一个长的 U 型载流导线可以模拟无穷小电流，如图 1 所示。 导线转折成 90 度可以减少对磁场的贡献，该实验需要在塑料板或者纸板上进行。 毕奥-萨伐尔定律可以写为： $$ d\overrightarrow{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I d\overrightarrow{l} \times \hat{r} }{r^2} $$ 但这个公式针对的是无限小长度电流。在论文的实验中，假设电流长度为 $L$，探针与电流段的垂直距离为 $r$。因此，磁场 $B$ 的公式为： $$ B = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{IL}{r^2} $$ 考虑 $IL = (q/t)L = qv$，则可以将上式写成 $$ B = \frac{\mu_0 qv}{4\pi r^2} $$ 其中 $v$ 是电荷的漂移速度，远小于光速。 实验步骤： 安装 Phyphox 软件，在磁力计采集数据前，移动手中的回形针，确定手机中磁力计位置。 将手机放在塑料或者纸板上，在 $z$ 方向要扣除地球的磁场； 如图3 所示，U型导线和手机平行，距离磁力计约 5cm 位置，测量磁场随着电流的变化，如图 3 所示。 ...

这是 Nam H. Nguyen, Quy C. Tran, Thach A. Nguyen, Trung V. Phan 发表在 2024 年 01 月《The Physics Teacher》的一篇论文。 在物理书上一般会写明：带电导体内部的电场为零，但这是对电荷是连续分布时适用的——如果在表面只带了一个电荷，那么导体内部的电场无论都不会为零。这篇文章研究了离散电荷对导体内部电场的影响，随着离散电荷数量增加，该模型就趋于导体表面电荷连续分布的情况。 方便起见，电荷分布在二维平面，电荷总量是偶数，并对称分布，如图1 所示。 每个电荷 $q$ 所在位置对应的角度为 $\theta_n = \pi (n – 1/2)/N$，总电量为 $Q$，则每个电荷 $q = Q/(2N)$，设置为自然单位制，则在水平方向 $x$ 处的电场强度为 $$ E(x) = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} \frac{x-cos\theta_n}{(x-cos\theta_n)^2+(sin \theta)^2} $$ 图2 绘制了不同的离散电荷数量 $N$下，电场强度 $E$ 和 $x$ 的关系：当 $N\gt0$，在 $x \gg 1$ 处，电场强度随着 $x$ 的增加而减小，满足 $1/x$ 的关系。当 $N \gg 1$ 时，电场在导体内部会很快消失，只存在边界处。 ...

这是 Peiqi Li, Xun Lei, Haonan Cui, Lu Zhao 发表在 2024 年 04 月 《The Physics Teacher》的一篇论文。 马吕斯定律(Malus’s law) 可以定量地分析光的偏振状态。这篇文章给出了一个三个偏振的系统，可以用来验证马吕斯定律。 如图 1 所示，整个装置包含了两个固定偏振片，中间的偏振片经由马达驱动后连续旋转的。方便起见，把第一个偏振片叫做“polarizer”，第二个偏振片称为“modulator”，第三个偏振片称为“analyzer”。 假定入射光是未偏振的，强度为 $I_0$，经过第一个偏振片后强度变成 $I_1 = \beta_1I_0/2$，其中 $\beta_1$ 是偏振片的透射系数。此时第一个偏振片与第二个偏振片的夹角为 $\theta$，则经过第二个偏振片后的强度为 $I_2 = \beta_2I_1cos^2\theta$，而 $\theta = 2\pi ft + \theta_0$。 经过第三个偏振片后出射的强度为 $$ I_3 = \beta_3I_2cos^2(\alpha-\theta) = \beta (I_0/2)cos^2\theta cos^2(\alpha-\theta) $$ 这里的 $\alpha$ 是第一个、第三个偏振片偏振方向的夹角。 驱动马达，使得第二个偏振片旋转，测量出射光的强度，即可得到出射光强度和时间的关系图，如图 2 所示。 得到不同 $\alpha$ 角下的图像，并进行拟合，回归系数高达 0.996。该装置还可以有多种其他的优点，例如将光源换成激光，则可以得到脉冲激光发射器。 原文链接: https://doi.org/10.1119/5.0145116 ...

这是 Tom Ekkens 发表在 2024 年 01 月《The Physics Teacher》的一篇论文。 这篇文章用比较低廉的设备测量了光速，使用 斐索-傅科仪 和 分光镜 测量光速会相对昂贵一些。本文仪器主要由调制激光器、调制源和探测器组成。 考虑到光传播 1米需要 3.3 纳秒的时间，对于时间分辨率为 2 纳秒千兆采样频率的示波器测量 20m 长度的误差在3% 以内。使用硬件的调制频率低于 1 MHz 时，纳秒级的变化不足以发挥作用。但如果信号频率远高于 10 MHz，一般的示波器就无法采样足够的数据点来准确描述波形。因此，激光器、调制源和检测器都应该能够在 1 到 10 兆赫的范围内工作。 为了收集数据，激光器、探测器和示波器被放置在走廊或人行道的一端，彼此距离相当近。反射镜放置在走廊上，将激光束反射到探测器中。示波器的典型输出如图 3 所示，图中蓝线表示 树莓派Pico 产生的调制信号。示波器在该信号的上升沿触发。检测器输出由三条红线中的一条表示，分别对应不同的路径长度。 如果激光器和探测器是完美的，那么探测器的输出将是一个与调制信号相似的方波，但在时间上稍有延迟。然而，两侧都有电容，会使方波的尖锐边缘变圆，因此输出信号看起来更像正弦曲线。 如果光照强度过高，正弦曲线会在最大电压附近变平，如图 3 中的红线所示。为了最大限度地减少这些变平效应带来的不确定性，最好在正弦波的最小值处进行时间测量。 对于图 3 中的暗红线，激光路径长度为 2 m，暗红线达到最小值的时间点距离触发点 88 ns。红线的路径长度为 10 m，在 116 ns 时达到最小值。浅红线的路径长度为 20 米，在 148 毫微秒时达到最小值。 图 4 绘制了路径长度和延迟时间的图像，测量得到的光速约为 $3.01 \pm 0.04 × 10^8 m/s$，误差在 1% 之内。 ...

这是 John Waite 发表在 2024 年 09 月《The Physics Teacher》的一篇论文。 自行车在日常生活中比较常见，这篇文章展示了自行车传动系统的效率，链条的传动效率超过 90%。 传动系统包含一个脚踏板的前齿轮，驱动自行车后轮的后齿轮，两个齿轮用链条连接在一起。 脚踏板的长度为 $d$，前齿轮盘的半径为 $r_f$，后齿轮盘的半径为 $r_r$，后轮的半径为 $R$。在脚踏板上施加一个 $F_{in}$ 的力，前轮产生的力矩为 $$ \tau_f = F_{in}d = Tr_f $$ 其中 $T$ 是连接链条的力，传递给后轮的力矩为 $$ \tau_r = F_{road}R = Tr_r $$ 则可以得到轮子施加在地面的力为 $$ F_{road} = \frac{dr_r}{Rr_f}F_{in} $$ 而有齿轮比 $g = r_f/r_r$，当齿轮比减小，施加在地面的力会增加，这似乎和常识相反。考虑到牛顿第二定律，一般而言，低速档通常用于获得动力，高速档通常用于保持动力。 如图 1 所示，在脚踏板上挂载重物，脚踏板旋转时带动链条，链条带动后轮旋转，用测力计拉住轮子，使轮子不动，则可以得到 $F_{road}$。 拉力计示数如图3 所示 下面来计算下链条的效率 $$ e = \frac{P_{out}}{P_{in}} = \frac{RF_{road}\omega_r}{RF_{in}\omega_f} $$ ...

这是 Sanjoy Kumar Pal, Soumen Sarkar, Pradipta Panchadhyayee 发表在 2024 年《The Physics Educator》的一篇论文。 在高端手机中会放置光学雷达(LiDAR)，可以比较精确地测量物体的距离、物体的形状和特征。 劲度系数 ($k$) 的测量在中学阶段很常见。在凝聚态物理学和量子力学中，“弹簧 ”一词经常被用来比喻粒子之间的某些类型的恢复力或相互作用。例如量子谐振子、晶格振动（声子）和磁振子（自旋系统）。 对于简谐运动的弹簧-质量系统，运动周期为 $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{m+m_s}{k}} $$ 其中 $m$ 是悬挂物的质量，$m_s$ 是弹簧的有效质量。考虑悬挂质量远大于弹簧真实质量$m_{0s}$，即 $m/m_{0s} \gg 1$，则弹簧的有效质量 $m_s = m_{0s}/3$。 这样就能得到劲度系数 $k$ 的表达式 $$ k = \frac{4\pi ^2}{T^2}(m+m_s) $$ 弹簧串联 $1/k = 1/k_1 + 1/k_2$，弹簧并联 $k = k_1 + k_2$，如果是 $Y$ 型连接，且夹角为 $45 ^\circ$，则劲度系数为 $$ k = \frac{k_3(k_1+k_2)cos^2(45 ^\circ)}{(k_1+k_2)cos^2(45 ^\circ)+k_3} = \frac{k_3(k_1+k_2)}{(k_1+k_2)+2k_3} $$ ...

这是 Pei Xiong-Skiba, Spencer Buckner, William R. Longhurst 发表在 2024 年 09 月《The Physics Teacher》的一篇论文。 抛体运动几乎是所有物理入门教科书都会涵盖的课题。通常使用的矢量分解法最初是由伽利略发明的——将运动分解为水平方向的匀速运动和组织方向的匀加速运动。 $$ \Delta x= v_{0x}t $$ $$ \Delta y = v_{0y} - \frac{1}{2}gt^2 $$ 而另一种方式是将抛体运动认为沿着初始发射方向的匀速运动和自由落体运动——这最开始是由牛顿发明的。 沿着初始发射方向的运动 $$ d = v_0t $$ $$ h=\frac{1}{2}gt^2 $$ 如图 1 所示。 牛顿的这个方法很少被讨论到，有一个很典型的例子是：用枪直接瞄准一个物体，在物体开始下落的瞬间扣动扳机，则子弹能命中物体。 视频链接：https://www.youtube.com/watch?v=cxvsHNRXLjw&t 这里学生完成了实验，在桌子边缘水平发射一颗弹珠，弹珠落在地面上。通过测量弹珠的初始高度（$h_0$）和覆盖范围（$R$）来计算初始发射速度。在这种情况下，沿垂直方向 $h$ 的下落距离为 $h_0$，沿原始投射方向的移动距离为 $R$。我们可以根据公式求出弹珠在空中时间 $t$，从而求出初始发射速度 $v_0$。 改变弹珠的发射角和弹珠高度，描点绘制图像，同时根据牛顿法计算沿初始抛射方向的距离，以及竖直方向的距离，如下表所示 学生根据数据在网格纸上画图，如下图2 所示。 但实际测量时可能会遇到问题，网格纸并不是标准宽度等，但这也激发学生测量所需的精度和准度。 本文介绍的图形方法为运动实验提供了一种实用的简化方法，也是矢量分解法的一种替代。 原文链接: https://doi.org/10.1119/5.0147581 ...

这是 Yajun Wei 发表在 2024年 09 月《The Physics Teacher》的一篇论文。 通电导线在磁场中的受力，和电流、磁场中导线长度均有关，这篇文章给出了 $F = BIL$ 的思想实验。 思想实验经常被用于哲学、物理学、经济学、社会心理学、法学、组织研究、市场营销和流行病学等多个领域。 比较有名的思想实验是伽利略的自由落体思想实验： 假设我们认为重的物体轻的物体下落得快。 那么想象两个轻重物体相互连接并从高处落下。较重的物体会促进较轻的物体下落。与此同时，较轻的物体会延缓较重物体的下落。这就导致了连接物体的速度介于轻物体和重物体的下落速度。但连接体的质量比重物体的质量大，因此下落速度会更快。这显然就矛盾了，因此可以认为假设不成立 —— “重的物体轻的物体下落得快”不成立。 下面来看一下通电导线受力 $F$ 和电流 $I$ 的关系 假设通电导线长为 $l$，电流为 $I$，在磁场中受到的力为 $F$。把电流 $I$ 增加到 $2I$，可以设想把 $2I$ 的电流分成两半，每一半均为 $I$ ，如上图 (d) 所示。当一半的电流 $I$ 时的受力为 $F$，因此通电 $2I$ 的导线受力就为 $2F$ 。通电导线受力 $F$ 和电流 $I$ 成正比。 下面来看一下通电导线受力 $F$ 和导线长度 $l$ 的关系 设想把导线长度变成 $2l$，则每一半导线受力均为 $F$，总的受力为 $2F$，通电导线受力 $F$ 和导线长度 $l$ 成正比。 ...