[论文阅读] 垫圈在竖直杆上的运动

注：本文仅作学习之用，不做商业用途。 不足和谬误之处还请指正。

论文标题： The motion of a washer on a vertical steel rod
论文来源： 欧洲物理杂志 (European Journal of Physics)， 2024 年 01 期
DOI: https://doi.org/10.1088/1361-6404/ad0d89

力学

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今天来看到的是浙江大学 姚星星 老师发表的一篇论文《垫圈在竖直杆上的运动》，之前姚老师在美国物理教师(The Physics Teacher) 发表过彩虹模拟的文章(点击查看)。

当垫片在杆上运动时，可能不是简单的下滑，而是会旋转向下。文章得到了无滑旋转下垫片摩擦系数，通过实验研究了摩擦系数和垫圈内径与杆直径比值对滑动状态的影响，并得到了无滑动旋转的二维相图。

当垫片中心和杆子中没重合时，垫片在下落过程中会一边下落一边旋转。

列出竖直方向和垫片法向的方程

$$mg-\mu m{\mathrm{\Omega }}^2(R_{in}-r)=m\frac{d{u}_c}{dt}$$$$\mu m{\mathrm{\Omega }}^2(R_{in}-r)rsin\theta =\frac{1}{2}m(R_{in}^2+R_{out}^2)\frac{d\omega }{dt}$$

其中，$\mathrm{\Omega }$ 是垫片的进动角速度(precession angular velocity)，$\omega$ 是垫片的旋转角速度(angular velocity of rotation)，$\theta$ 是竖直杆和垫片法向的夹角。

这样可以得进动角速度 $\mathrm{\Omega }$ 和 最后稳定下落时竖直方向的速度 $u_c$ 为

$$\mathrm{\Omega }=\sqrt{\frac{2R_{in}^{2}g}{sin\theta (R_{in}^2+R_{out}^2)(R_{in}-r)}}$$$$u_c=\mathrm{\Omega }rtan\theta =\sqrt{\frac{2R_{in}^{2}gsin\theta }{co{s}^2\theta (R_{in}^2+R_{out}^2)(R_{in}-r)}}$$

文章选用了不同尺寸和材料的垫片进行了实验，304不锈钢、氟橡胶、聚氨酯、硅氧树脂的垫圈，实验装置如下图所示。

用 Tracker 如那件分析进动角速度。下图分析了竖直方向的速度和旋转的速度。

实验分析了垫片稳定后，进动角(nutation angle) 与垫圈内径与杆直径比值图像，如下图所示

分析了进动角速度与垫圈内径与杆直径比值的关系，如下图所示。

还分析了稳定速度与垫圈内径与杆直径比值的关系，如下图所示。

文章为研究刚体的进动提供了新的视角。

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Comment: 这篇文章中翻译和理解如有问题，还请指正。仅供学习之用。
用高速摄像机 + Tracker 研究垫片的进动，理论和实验都有，非常有参考价值。