Physics Education

这是 Lian Hu 发表在 2025 年 - 03 月 《 Physics Education 》 期刊上的一篇文章。该研究通过改造废弃机械硬盘（HDD）中的主轴电机和音圈电机（VCM），设计了三种可调振动模式，用于演示共振、驻波等实验，展示了如何利用低成本、便携的设备在有限空间内实现精确频率控制的振动现象。 废弃的机械硬盘由无刷电机和音圈电机 (VCM) 构成，音圈电机运动形式可以为直线或者圆弧。根据无刷电机和音圈点击的运动特性，有三种可控振动的方式。图 1(a) 显示了将 VCM 用作振荡器的第一种方法，因为在振荡电压信号的驱动下，它将以相同的频率摆动。第二种方法是将主轴电机制成曲柄，并与外部导轨和滑块结合形成振动，如图 1 c 和1d 所示。图 1 e 介绍了第三种方法，将主轴电机和音圈电机结合在一起。借助 LED，可以清楚地观察到连杆上不同位置的运动轨迹。图 1 f 显示了运动轨迹从旋转到沿连杆振动的变化。 论文演示共振实验。如图2 所示，一个音圈电机部件被固定在支架上。一根铁质细杆的一端通过 Y 形接头与 VCM 臂相连。杆的另一端由固定在支架上。三枚铜螺母悬挂在该杆上，上面系有三根弦，形成三个驱动摆。这些摆锤的弦长分别为 8 厘米、15.5 厘米和 24.5 厘米。根据摆的固有频率方程 $$ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}} $$ 这些摆的固有频率的计算结果分别为 1.76、1.26 和 1.00 赫兹。该装置可以证明驱动摆的共振现象。摆臂驱动细杆以指定频率摆动。从高到低调节信号频率，我们可以看到当信号频率与单摆的固有频率一致时，共振会使单摆产生较大的摆幅，如图 2a-c 所示。去掉连杆，预留的音圈电机可以驱动一根弹性绳来演示驻波（图 2d）。在摆臂的一端系上一根弹性绳，摆臂的另一端则系上一根弹性绳。图 2e-g显示了信号频率为 27、54 和 81 Hz 时具有 1-3 个波节的驻波。通过观察驻波的频率和形状，学生可以更好地理解匀速振动频率与波长之间的反比关系。 图3 演示了使用第二种产生振动的方式——将主轴电机制成曲柄，并与外部导轨和滑块结合形成振动，而产生的驻波，如图 3 a 所示。图 3 e 使用 用棍子触碰驻波上的波节和波腹位置。 ...

这是 Rod Cross 发表在 2025 年 03 月 《Physics Education》 期刊上的一篇文章。 双摆是把一个摆连在另一个摆的下方，大角度下运动呈现混沌现象，而小角度情况下还是可以被很好研究的。例如，摆长为 $L$，挂载相同的质量，则角频率为 $0.765\sqrt{g/L}$以及 $1.848\sqrt{g/L}$，两球的运动取决于初始条件不同。 如果下部的质量远小于上部的质量，可能会出现一种异常情况，此时两种模式的振荡频率大致相同，从而观察到拍频现象，即一个摆的能量逐渐转移到另一个摆上。 文章使用 Tracker 分析运动。 如图1 所示，假定两球的质量相等，摆线长度相等，录制视频。 分析两球水平位移和时间的关系，如图2 所示。 用傅立叶变换求得两种震动模式的频率不同，分别为 $1.06 Hz$，$2.84Hz$，如图3 所示，可以给出对于上、下摆球的拟合，分别为 $x_t = sin(2\pi \times 1.06t) + 0.5 sin(2\pi \times 2.84t) $，$x_b = sin(2\pi \times 1.06t) + 0.1 sin(2\pi \times 2.84t)$。 测量得到两球的频率比为 $2.84/1.06 = 2.68$，理论值为 $1.848/0.765 = 2.42$，实验与理论符合的还是不错的。 用不同质量的摆球，相同摆线长完成实验。实验装置图、实验结果、傅立叶变换如图 4-5-6 所示。 ...

这是 Rod Cross 发表在 2025 年 03 月 《Physics Education》 期刊上的一篇文章。这篇论文探讨了静摩擦力在滚动运动中做功的机制，挑战了“静摩擦力不做功”的传统观点，并通过理论推导和实例分析阐明其物理本质。 对做功的定义是力乘以在力的方向移动的距离。一般而言，静摩擦力做的功默认为0。对于无滑滚动的物体，静摩擦力既产生扭矩驱动旋转，又影响质心的平动。作者指出，静摩擦力的总功为零，但其会做正功和负功，改变小球的旋转动能与平移动能，从而总功为零。 1. $F$ 作用在轮子边缘，当轮子转过一个微元 $d\theta$，则 $F$ 做功为： $$ dW=Fds=FRd\theta = \tau d\theta $$ 积分可得轮子的旋转动能为 $\frac{1}{2}I_{cm}\omega^2$，如图 1 a 所示。 2. 现在考虑如图 1b 所示的情况，当一个球在斜面无滑滚动，摩擦力矩做功使得物体的旋转动能增加，但底部接触点的摩擦力会阻止物体下滑，围绕底部接触点，摩擦力做负功 $W = -F ds$。 旋转动能的增加源于静摩擦力的正功，而平移动能的减少由其负功抵消，满足能量守恒。 原文链接: https://doi.org/10.1088/1361-6552/adb11f

这是 A ́lvaroSuárez 发表在2025 年 03 月 《Physics Education》 期刊上的一篇文章。 宇宙学原理指出，在大尺度上，宇宙对所有观察者来说应该是相同的，无论他们观察的方向如何。将这一原理应用于星系的运动，我们可以得出结论：任何观察者，无论位于哪个星系，都会看到其他星系以相似的速度模式远离。 宇宙学原理的一个直接推论是，任何两个星系之间的相对速度与它们之间的距离成正比。这一结果扩展了哈勃-勒梅特定律，该定律由埃德温·哈勃在1929年提出，但实际由乔治·勒梅特在1927年发现。根据这一定律，星系远离我们的速度与它们与地球的距离成正比。这一发现彻底改变了我们对宇宙的理解，证明了宇宙正在膨胀，且宇宙没有膨胀的中心。 星系的后退速和距离成比是防止觉得，为此需要涉及实验让学生能掌握——其中一个实验室让学学生在橡皮筋上画好点，拉伸橡皮筋从而观察点的位置变化，但这实验学生不好直接测量橡皮筋上点的速度，本文提出了让学生直观测量后退速度的方法。 如图1 所示，在橡皮筋上面每隔 5cm 标记点，在一端以任一速度拉动，用 Tracker 软件分析每个点的运动。 以 $A$ 点为参考点，测量速度与位置的关系，如图2-3 所示。 斜率则为 “哈勃系数” $H=0.32cm s^{-1}$ 。同样也可以用 Tracker 测量其他点作为参考点的相对速度，如图 4-6 所示。 该实验通过让学生假设不同参考系中退行速度的一致性所产生的影响，向学生介绍宇宙学原理。通过将观测数据与基本科学原理联系起来，活动促进了探究和探索，提升了科学素养，并加深了学生对宇宙学的理解。 原文链接: https://doi.org/10.1088/1361-6552/adac24

这是 Rod Cross 发表在 2025 年 03 月《Physics Education》的一篇论文。研究的是木板斜面静止放在球上，如图 1 所示。 如果木板保持静止，则可以写出受力平衡方程，竖直方向： $$ N_2+N_3cos\theta + F_3 sin\theta = M_2 g $$ 水平方向： $$ F_2+ F_3cos\theta =N_3 sin \theta $$ 再写出力矩平衡方程，则有 $$ N_2 = M_2 g \left( 1-\frac{L cos\theta}{2x}\right) $$ 以及木板与地面的摩擦力 $F_2$ 为 $$ F_2 = \frac{M_2gLcos\theta sin\theta}{2x(1+cos\theta)} $$ 当 $x$ 减小，$\theta$ 增加，$N_2$ 减小，但在 $N_2$ 减小到零之前，木板会滑动。 把木板放在电子秤上面测量支持力，测量在电子秤上没有垫纸、垫上砂纸时的最大倾斜角度，可以得到摩擦系数。改变不同的角度、使用不同半径的小球，得到支持力 $N_2$ 和 倾斜角度 $\theta$ 的关系如图 3 所示。 ...

这是 Rod Cross 发表在 2025 年 03 月《Physics Education》的一篇论文。梯子倾斜靠在竖直墙上问题是比较经典的力学静态平衡问题。如图 1 所示，质量为 $M$，长度为 $L$ 的均质杆一端连接绳子，一段放在粗糙的水平面上，梯子保持平衡。 静态平衡方程为 $$ N + T cos \theta_1 = Mg $$ $$ F = T sin \theta_1 $$ 力矩平衡方程： $$ N(\frac{L}{2})cos\theta_2 = F(\frac{L}{2})sin\theta_2 + TD $$ 可以得到摩擦力 $F = (Mg-N)tan\theta_1$，支持力为 $$ N=\frac{Mg(1+2tan \theta_1 \theta_2)}{2(1+tan \theta_1 \theta_2)} $$ 当 $\theta_1= 0$，则 $F=0$，$T=N=Mg/2$，摩擦力无需存在。当绳子和杆子平行时，满足 $tan \theta_1 tan \theta_2 = -1$，则支持力 $N=\infty$，但实际杆子在这之前就会滑动。 考虑到摩擦系数满足 $\mu=F/N$，绘制摩擦系数 $\mu$ 与 $\theta_2$ 的图像，如图2 所示。 ...